Question

16．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．
（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，
∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB，
又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，
又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC．
解：（2）∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$=1，OC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴PC²=OP²+OC²，∴OP⊥OC，
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），D（$\sqrt{3}，-2，0$），
$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}，-\sqrt{2}$，-1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BPC的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设平面DPC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}a-2b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题是要认真审题，注意向量法的合理运用．