Question

16．对任意不全为零的实数x，y，设f（x，y）=min{x，$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}，求f（x，y）的最大值．

Answer 1

分析 首先可排除当x≤0时取不到最大值，从而化为求f（x，y）的最大值可转化为求min{x，$\frac{1}{x}$}的最大值，从而解得．

解答 解：当x≤0时，x≤0，$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤0；
故f（x，y）=min{x，$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$}≤0；
当x＞0时，x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0；
当y=0时，$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$有最大值$\frac{x}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，
故求f（x，y）的最大值可转化为求min{x，$\frac{1}{x}$}的最大值，
min{x，$\frac{1}{x}$}=$\left\{\begin{array}{l}{x，0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$；
故min{x，$\frac{1}{x}$}的最大值为1；
故f（x，y）的最大值为1．

点评 本题查了分段函数的最大值的求法及应用．