Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：以CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）

AB

=(2，-2，0)，

AD

=(0，-2，1)，

DE

=(1，0，1)，设平面ADB的法向量为

n

=(x，y，1)得：可取法向量为

n

=(1，1，2)，则点E到平面ADB的距离d=|

DE • n

| n |

|=

6

2

．
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得

A1E

=(1，-2，0)，

A1D

=(0，-2，-1)，
设平面A₁ED的法向量为

n1

=(x，y，1)，则

n1

=(2，1，-2)，平面A₁BD的法向量为

n2

=(x，y，1)，则

n2

=(1，-1，2)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

6

，即求二面角E-A₁D-B的余弦值为

6

6

．
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则

EF

=(-1，y，-2)，EF⊥平面A₁DB得

EF

∥

n2

，F（0，1，0），F即为AC中点．

解答：解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，由C₁C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．
则

AB

=(2，-2，0)，

AD

=(0，-2，1)，

DE

=(1，0，1)
设平面ADB的法向量为

n

=(x，y，1)得

2x-2y=0 -2y+1=0

?

x= 1 2 y= 1 2

即

n

=(

1

2

，

1

2

，1)
则取法向量为

n

=(1，1，2)，
则点E到平面ADB的距离d=|

DE • n

| n |

|=

6

2

．（3分）
（2）A₁（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）
可得

A1E

=(1，-2，0)，

A1D

=(0，-2，-1)，
设平面A₁ED的法向量为

n1

=(x，y，1)?

x-2y=0 -2y-1=0

?

x=-1 y=- 1 2

，
故可令

n1

=(2，1，-2)，A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
可得

A1D

=(0，-2，-1)，

A1B

=(2，-2，-2)，
设平面A₁BD的法向量为

n2

=(x，y，1)?

-2y-1=0 2x-2y-2=0

?

x= 1 2 y=- 1 2

，
故可令

n2

=(1，-1，2)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

6

6

，
即求二面角E-A₁D-B的余弦值为

6

6

；（6分）
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），
则

EF

=(-1，y，-2)，
EF⊥平面A₁DB得

EF

∥

n2

，即

1

-1

=

-1

y

=

2

-2

?y=1，
∴F（0，1，0）F即为AC中点．（10分）

点评：本小题考查空间中的线面关系，直线与平面所成的角、点到面的距离、二面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．