Question

已知函数f（x）=|x|+1
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调区间，并用函数单调性的定义证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，验证f（-x）=f（x），可得函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数，利用定义证明函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，再利用函数f（x）是偶函数，可得函数在（0，+∞）上为增函数．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R
∵f（-x）=|-x|+1=|x|+1=f（x），∴函数f（x）是偶函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数
设x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0
∴f（x₂）-f（x₁）=x₁-x₂＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数
∵函数f（x）是偶函数，
∴函数在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．