分析 (1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)根据基本不等式的性质证明即可.
解答 解:(1)显然,x≠0,
∴当x≤-1时,得$-x+1+\frac{1}{x}≤1$,…(1分)
即-x2+1≥0,即x=-1;…(2分)
当-1<x<0时,得$-x-1-\frac{1}{x}≤1$,即(x+1)2≤0,x无解;…(3分)
当x>0时,得$x+1+\frac{1}{x}≤1$,即x2+1≤0,x无解;…(4分)
综上,不等式f(x)≤1的解集是{x|x=-1}…(5分)
(2)∵x>0,∴f(x)=|x|+|1+$\frac{1}{x}$|=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=3,…6
当且仅当x=1时等号成立…(7分)
∵当x>0时,f(x)≥$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$恒成立,∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≤3$…(8分)
∴$3(a+b+c)≥(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})≥{(\sqrt{a•\frac{1}{a}}+\sqrt{b•\frac{1}{b}}+\sqrt{c•\frac{1}{c}})^2}=9$,
∴a+b+c≥3…(10分)
点评 本题考察了解绝对值不等式问题,考察基本不等式的性质,是一道基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,4) | B. | [-2,4] | C. | (-∞,1]∪(2,4) | D. | (-∞,1)∪(2,4) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{t}{co{s}^{2}x}$ | B. | -$\frac{t}{co{s}^{2}x}$ | C. | $\frac{1}{cosx}$ | D. | $\frac{t}{sinx}$ |
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