Question

18．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在[a，b]上有2个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=-x²+（m+2）x-1和g（x）=2x+3是[1，5]上的“关联函数”，则实数m的取值范围为（4，5]．

Answer 1

分析 由题意可得y=h（x）=f（x）-g（x）=-x²+mx-4在[1，5]上有两个不同的零点，有$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（5）≤0\\ f（\frac{m}{2}）＞0\\ 1＜\frac{m}{2}＜5\end{array}\right.$，由此求得m的取值范围

解答 解：∵f（x）=-x²+（m+2）x-1和g（x）=2x+3在[1，5]上是“关联函数”，
故函数y=h（x）=f（x）-g（x）=-x²+mx-4在[1，5]上有两个不同的零点，
有$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（5）≤0\\ f（\frac{m}{2}）＞0\\ 1＜\frac{m}{2}＜5\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m-5≤0\\ 5m-29≤0\\ \frac{{m}^{2}}{4}-4＞0\\ 2＜m＜10\end{array}\right.$，
解得m∈（4，5]，
故答案为：（4，5]

点评 本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．