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已知复数z满足|z|=
2
,z2的虚部为2.
(1)求z;
(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
(1)设z=a+bi(a、b∈R),z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi…(1分)
∵|z|=
a2+b2
=
2
,∴a2+b2=2,…①
又∵z2的虚部为2,∴2ab=2…②…(2分)
①②联解,得a=b=-1或a=b=1…(3分)
∴z=1+i或-1-i…(4分)
(2)(i)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i…(5分)
可得A(1,1),B(0,2),C(1,-1).
∴AB=
2
,AC=2,BC=
10

可得cos∠ABC=
2+10-4
2
×
10
=
2
5
5
,…(9分)
(ii)当z=-1-i,z2=2i,z-z2=-1-3i,…(10分)
可得A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3).
∴AB=
10
,AC=2,BC=
26

可得cos∠ABC=
26+10-4
26
×
10
=
8
65
65
…(13分)
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3+i
1-i
的共轭复数的虚部是(  )
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5
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1+2i
1+i
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3
2
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1
2
C.-
1
2
D.-
1
2
i

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1+i
2-i
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2
z
+
.
z
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2
z
+z2=(  )
A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

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