Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

a，M是A₁B₁的中点．
（I）求证：

MC1

是平面ABB₁A₁的一个法向量；
（II）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

分析：（I）以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，

AB

方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明

MC1

是平面ABB₁A₁的一个法向量；
（II）由

AC1

=(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)，

MC1

•

AC1

=(0，

3

2

a，0)•(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)=

3

4

a2，|

MC1

|=

3

2

a，|

AC1

|=

3

a，能够求出AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

解答：解：（I）如图，以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，

AB

方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（a，0，0），B1(a，0，

2

a)，
M（

a

2

，0，

2

a)，C1(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)
所以

AB

=（a，0，0），

BB1

=(0，0，

2

a)，

MC1

=(0，

3

2

a，0)．…（5分）
因为

MC1

•

AB

=0，

MC1

•

BB1

=0，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
从而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故

MC1

是平面ABB₁A₁的一个法向量．…（9分）
（II）

AC1

=(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)．
因为

MC1

•

AC1

=(0，

3

2

a，0)•(

a

2

，

3 a

2

，

2

a)=

3

4

a2，
又因为|

MC1

|=

3

2

a，|

AC1

|=

3

a，
所以cos＜

MC1

，

AC1

＞=

1

2

，即＜

MC1

，

AC1

＞=60°．…（13分）
故AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°．…（14分）

点评：本题考查平面的法向量的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．