【题目】已知,都是各项为正数的数列,且,.对任意的正整数n,都有,,成等差数列,,,成等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一个元素,求实数的取值范围.
【答案】(1)an=n(n+1),bn=(n+1)(2)见解析
【解析】
(1)利用等差中项和等比中项的性质,列方程组,解方程求得公差和公比,由此求得数列的通项公式.(2)构造数列,当时,利用数列的单调性求得的范围;当或时,不符合题意;当时,利用的唯一最大值不小于,求得的取值范围.最后综上所述求得的取值范围.
解:(1)根据题意,2bn2=an+an+1 ①, an+1=bnbn+1 ②,
于是a2=3,b2=,2bn+12=an+1+an+2=bnbn+1+bn+1bn+2,
又因为bn>0,上式可化简为:2bn+1=bn+bn+2对任意n∈N*恒成立,
所以数列{bn}是以b1=为首项,b2-b1=为公差的等差数列,
所以数列{bn}的通项公式bn= (n+1),
把上式代入②,则an+1=,
特别地,当a1=1也符合上式,故数列{an}的通项公式an=n(n+1).
(2)令cn=,则=,
当p>3,数列{cn}单调递减,因为集合M中只有一个元素,所以c2<λ≤c1,
即 <λ≤;
当p=3, c1=c2>c3>c4>…,M中不可能只有一个元素,所以不符合题意;
当0<p≤1,数列{cn}单调递增,M中不可能只有一个元素,所以不符合题意;
当1<p<3,令k=[]∈N,即k是小于等于的最大整数,则<p-1≤.
①若p=+1时,则c1<c2<…<ck=ck+1>ck+2>ck+3>…,M中不可能只有一个元素,所 以不符合题意;
②若+1<p<时,则c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2>ck,所以ck+2<λ≤ck+1,即<λ≤;
③若≤p<+1时,则c1<c2<…<ck<ck+1>ck+2>ck+3>…,
且ck+2≤ck,所以ck<λ≤ck+1,即<λ≤;
综上,当p>3时,<λ≤;
当1<p<3时,取k=[]∈N,
(i)若+1<p<时,<λ≤;
(ii)若≤p<+1时,<λ≤.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:的离心率为,点A(2,1)是椭圆E上的点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线l1,l2分別与椭圆E交于B,C两点,己知△ABC的面积为,求直线BC的方程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知以C为圆心的圆及其上一点.
(1)设平行于的直线与圆C相交于两点,且,求直线的方程;
(2)设点满足:存在圆C上的两点使得,求实数t的取值范围.
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【题目】据调查,某地区有300万从事传统农业的农民,人均年收入6000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高,而进入企业工作的农民的人均年收入为元.
(1)在建立加工企业后,多少农民进入企业工作,能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大,并求出最大值;
(2)为了保证传统农业的顺利进行,限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的,当地政府如何引导农民,即取何值时,能使300万农民的年总收入最大.
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【题目】已知函数,的定义域分别为,若存在常数,满足:①对任意,恒有,且.②对任意,关于的不等式组恒有解,则称为的一个“型函数”.
(1)设函数和,求证:为的一个“型函数”;
(2)设常数,函数,.若为的一个“型函数”,求的取值范围;
(3)设函数.问:是否存在常数,使得函数为的一个“型函数”?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点为M,
(1)求过点M且到点P(0,4)的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点M且与直线l3:x+3y+1=0平行的直线l的方程.
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