Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

求证：（1）PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离。

Answer 1

（1）先证BC⊥平面PCD （2）

试题分析：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC。
由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC。
又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
∴BC⊥平面PCD。
∵PC平面PCD，∴PC⊥BC。
（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD于PC。
∵PD=DC，PF=FC，∴DF⊥PC。∴DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于.
点评：本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离．