(本题满分12分)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.
(1)求的长; (2)求cos< >的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
(1)| |=.
(2)cos<,>=.
(3)计算·=0,推出A1B⊥C1M。
【解析】
试题分析:如图,建立空间直角坐标系O—xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)
∴| |=.。。4分
(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)
∴=(1,-1,2),=(0,1,2,),·=3,||=||=
∴cos<,>=.。。。。。。。8分
(3)证:依题意,得C1(0,0,2)、M(,2),=(-1,1,-2),={,0}.∴·=-+0=0,∴⊥,∴A1B⊥C1M..。。。。。12分
考点:本题主要考查立体几何中线线垂直,距离及角的计算,空间向量的应用
点评:典型题,立体几何中平行、垂直关系的证明,距离及角的计算问题是高考中的必考题,通过建立适当的坐标系,可使问题简化,向量的坐标运算要准确。
科目:高中数学 来源:2014届江西高安中学高二上期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ,为的中点.
(1)当时,求平面与平面的夹角的余弦值;
(2)当为何值时,在棱上存在点,使平面?
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省八市高三3月联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)如图,在长方体中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1;侧棱,为中点,为中点,为上一个动点.
(Ⅰ)确定点的位置,使得;
(Ⅱ)当时,求二面角的平
面角余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广西桂林中学高三7月月考试题理科数学 题型:解答题
(本题满分12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中点,F是AD的中点.
⑴求异面直线PD与AE所成角的大小;
⑵求证:EF⊥平面PBC ;
⑶求二面角F—PC—B的大小..
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科目:高中数学 来源:2011年湖南省招生统一考试文科数学 题型:解答题
(本题满分12分)
如图3,在圆锥中,已知的直径的中点.
(I)证明:
(II)求直线和平面所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源:2010年海南省高三五校联考数学(文) 题型:解答题
(本题满分12分)
如图,三棱锥S—ABC中,AB⊥BC,D、E分别为AC、BC的中点,SA=SB=SC。
(1)求证:BC⊥平面SDE;
(2)若AB=BC=2,SB=4,求三棱锥S—ABC的体积。
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