精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
17.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nan+1=2Sn,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知f(log2x)=x2-x,若存在实数k,对于任意的自然数n(n≥2),f(an)≥k•4n,求k的最大值.
(3)在(2)条件下,求证:$\frac{1}{f({a}_{1})}+\frac{1}{f({a}_{2})}$+…+$\frac{1}{f({a}_{n})}$<$\frac{11}{18}$(n∈N*).

分析 (1)根据数列的递推公式和迭代法即可求出数列的通项公式,
(2)由题意可得22n-2n≥k•4n对于任意的自然数n(n≥2)恒成立,分离参数,得到k≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$,求出(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$)min=$\frac{3}{4}$,问题得以解决,
(3)求出f(an)≥$\frac{3}{4}$•4n=3•4n-1,再根据等比数列的求和公式和放缩法即可证明.

解答 解:(1)∵nan+1=2Sn
∴(n-1)an=2Sn-1,(n≥2),
两式相减得到nan+1-(n-1)an=2an,n≥2,
即nan+1=(n+1)an,n≥2,
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$(n≥2),
∴an=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a1=$\frac{n}{n-1}$×$\frac{n-1}{n-2}$×…×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{1}$×1=n,
当n=1时,也成立,
故an=n,
(2)f(log2x)=x2-x,知f(x)=22x-2x
由f(an)≥k•4n得22n-2n≥k•4n对于任意的自然数n(n≥2)恒成立,
即存在实数k,使得k≤$\frac{{2}^{2n}-{2}^{n}}{{4}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$对于任意的自然数n(n≥2)恒成立,
∴k≤(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$)min(n≥2),而当n≥2时,(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$)min=$\frac{3}{4}$,
∴k的最大值为$\frac{3}{4}$;
(3)由(2)知f(an)≥$\frac{3}{4}$•4n=3•4n-1,(n≥2),
∴$\frac{1}{f({a}_{n})}$≤$\frac{1}{3•{4}^{n-1}}$,(n≥2),
当n=1时,$\frac{1}{f({a}_{1})}$=$\frac{1}{4-2}$=$\frac{1}{2}$<$\frac{11}{18}$,
当n≥2时,$\frac{1}{f({a}_{1})}+\frac{1}{f({a}_{2})}$+…+$\frac{1}{f({a}_{n})}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$($\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$)=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{12}(1-\frac{1}{{4}^{n-1}})}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{9}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{11}{18}$-$\frac{1}{9•{4}^{n-1}}$<$\frac{11}{18}$

点评 本题主要考查了函数与数列的综合运用,考查恒成立问题,不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.在△ABC中,∠A=2∠B,∠C的平分线交AB于点D,∠A的平分线交CD于点E.求证:AD•BC=BD•AC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.已知实数a满足1<a<2,命题p:函数y=lg(2-ax)在区间[0,1]上是减函数;命题q:x2<1是x<a的充分不必要条件,则(  )
A.p或q为真命题B.p且q为假命题C.?p且q为真命题D.?p或?q为真命题

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

5.在△ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,如果a、b、c成等差数列,B=60°,△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,那么b=$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如表的统计资料:
使用年限x12345
维修费用y567810
若由资料知y对x呈线性相关关系.
(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程$\hat y$=bx+a的回归系数a,b;
(3)估计使用年限为6年时,维修费用是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.命题p:x2-3x+2=0,命题q:x=2,则p是q的(  )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1A=$\sqrt{2}$,AD=1,AB=1,则对角线AC1与平面ABCD所成角为(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

6.已知(x,y)为$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ 4x+y-16≤0\\ x≥0,y≥0\end{array}\right.$所表示的平面区域M内的点,则z=y-2x的最大值为1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办,大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次APEC知识竞赛,将所得成绩制成如右频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试确定受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中选3人在主会场服务,记3人中成绩在90分以上的人数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.

查看答案和解析>>

同步练习册答案