Question

（2013•济宁二模）设点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为

2

，并记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（-2，0）的，过点M的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在由四点C₁（-1，0），C₂（1，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）构成的四边形内（不包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为

2

，建立方程，化简可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出G的坐标，判断出G在正方形内，即可求得直线l斜率的取值范围．

解答：解：（I）∵点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为

2

，
∴

|x-2|

(x-1)2+y2

=

2

∴

x2

2

+y2=1
∴曲线C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），线段EF的中点G（x₀，y₀），
直线方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
由△＞0，可得-

2

2

＜k＜

2

2

∵x₁+x₂=

-8k2

1+2k2

，∴x₀=

-4k2

1+2k2

，y₀=

2k

1+2k2

∵x₀=

-4k2

1+2k2

≤0，∴点G不可能在y轴的右边
∵直线C₁B₂，C₁B₁的方程为y=x+1，y=-x-1
∴点G在正方形内的充要条件为

y0＜x0+1 y0＞-x0-1

，即

2k2+2k-1＜0 2k2-2k-1＜0

∴-

3 -1

2

＜k＜

3 -1

2

．
综上可知，-

3 -1

2

＜k＜

3 -1

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．