Question

（2013•韶关一模）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；
（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且tanθ=

3 2

2

，求二面角C-AB-E的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．

解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；
∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；
又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；
又∵AC∈平面PAC，∴面PAC⊥面PBC
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，
则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，

m

2

，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．
∴

AE

=(-2，

m

2

，1)，

PB

=(0，0，-2)，

AB

=(-2，m，0)．
由tanθ=

3 2

2

，得cosθ=

22

11

，由cosθ=

| AE • PB |

| AE | | PB |

=

2

5+ m2 4 4

=

2

20+m2

，
∴

22

11

=

2

20+m2

，解得m=

2

．
则

AE

=(-2，

2

2

，1)，

AB

=(-2，

2

，0)．
设平面ABE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AE =-2x+ 2 2 y+z=0 n • AB =-2x+ 2 y=0

，取x=1，则y=

2

，z=1，
∴

n

=（1，

2

，1）．
取平面ABC的一个法向量

k

=（0，0，1），
∴cos＜

k

，

n

＞=

k • n

| k | | n |

=

1

4

=

1

2

．∴＜

k

，

n

＞=60°．
∴二面角C-AB-E的大小为60°．

点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．