Question

国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y₁（万元）之间满足关系式y₁=170-2x，月产量x（套）与生产总成本y₂（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y₂与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，

解得：
∴函数关系式y₂=30x+500
（2）依题意得：
解得：25≤x≤40
（3）∵W=x•y₁-y₂=x（170-2x）-（500+30x）=-2x²+140x-500
∴W=-2（x-35）²+1950
∵25＜35＜40，
∴当x=35时，W_最大=1950
答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
分析：（1）设函数关系式为y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围；
（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．
点评：本题考查了函数模型的选择与应用、函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．