Question

11．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB=$\sqrt{2}$，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）求证：SB⊥平面SAD；
（2）求二面角D-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出SB⊥AD，SA⊥SB，由此能证明SB⊥平面SAD．
（2）以O为原点，OA，OE，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-SC-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵平面SAB⊥底面ABCD，面SAB∩平面ABCD=AB，
DA⊥AB，DA?面ABCD，
∴DA⊥平面SAB，SB?平面SAB，∴SB⊥AD，
又SA=SB=$\sqrt{2}$，AB=2，∴SA⊥SB，SA∩AD=A，
∴SB⊥平面SAD．
解：（2）过点S作SO⊥AB于O，则SO⊥底面ABCD，
过O作OE∥AD，
以O为原点，OA，OE，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（-1，0，0），C（-1，3，0），D（1，1，0），S（0，0，1），
∴$\overrightarrow{SD}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DC}$=（-2，2，0），
设平面SCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
设平面SBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{SB}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，3，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=-a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
由图形得二面角D-SC-B的平面角是钝角，
∴二面角D-SC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．