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在边长为2的正方形ABCD边上有点P,沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动(不包括B、A两点),设P运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x);
(2)画出函数y=f(x)的图象;
(3)是否存在实数a,使函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称?若不存在,则说明理由;若存在,则写出a的值.
分析:(1)由于x=0与x=6时,三点A、B、P不能构成三角形,故这个函数的定义域为(0,6).利用三角形的面积公式能够求出当0<x≤2时,y=f(x)=
1
2
•2•x=x;当2<x≤4时,y=f(x)=2;当4<x<6时,y=f(x)=
1
2
•2•(6-x)=6-x.由此能够求出这个函数的解析式.
(2)结合f(x)的解析式,利用描点法作图,能够得到其图象.
(3)结合f(x)的图象能够示出a的值.
解答:解:(1)由于x=0与x=6时,三点A、B、P不能构成三角形,故这个函数的定义域为(0,6).
当0<x≤2时,y=f(x)=
1
2
•2•x=x;
当2<x≤4时,y=f(x)=2;
当4<x<6时,y=f(x)=
1
2
•2•(6-x)=6-x.
∴这个函数的解析式为
f(x)=
x,x∈(0,2]
2,x∈(2,4]
6-x,x∈(4,6)

(2)结合f(x)=
x,x∈(0,2]
2,x∈(2,4]
6-x,x∈(4,6)

作出其图象如下:

(3)结合f(x)=
x,x∈(0,2]
2,x∈(2,4]
6-x,x∈(4,6)
的图象知,
函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称.
∴a=3.
点评:本题考查函数解析式的求法、函数图象的画法和函数对称轴的求法,解题时要认真审题,注意分段函数的性质和应用.
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