Question

在边长为2的正方形ABCD边上有点P，沿着折线BCDA由点B（起点）向A（终点）运动（不包括B、A两点），设P运动的路程为x，△PAB的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出函数y=f（x）的图象；
（3）是否存在实数a，使函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称？若不存在，则说明理由；若存在，则写出a的值．

Answer 1

分析：（1）由于x=0与x=6时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，6）．利用三角形的面积公式能够求出当0＜x≤2时，y=f（x）=

1

2

•2•x=x；当2＜x≤4时，y=f（x）=2；当4＜x＜6时，y=f（x）=

1

2

•2•（6-x）=6-x．由此能够求出这个函数的解析式．
（2）结合f（x）的解析式，利用描点法作图，能够得到其图象．
（3）结合f（x）的图象能够示出a的值．

解答：解：（1）由于x=0与x=6时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，6）．
当0＜x≤2时，y=f（x）=

1

2

•2•x=x；
当2＜x≤4时，y=f（x）=2；
当4＜x＜6时，y=f（x）=

1

2

•2•（6-x）=6-x．
∴这个函数的解析式为
f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

．
（2）结合f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

．
作出其图象如下：

（3）结合f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

的图象知，
函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称．
∴a=3．

点评：本题考查函数解析式的求法、函数图象的画法和函数对称轴的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．