【题目】如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE.
(1)求证:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱锥P-EBC的体积.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据折叠前后关系得PC⊥CD,根据平几知识得BE//CD,即得PC⊥BE,再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC,最后根据面面垂直判定定理得结论,(2)先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高,再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.
(1)证明:∵AB⊥BE,AB⊥CD,∴BE//CD,
∵AC⊥CD,∴PC⊥CD,∴PC⊥BE,
又BC⊥BE,PC∩BC=C,
∴EB⊥平面PBC,
又∵EB平面DEBC,∴平面PBC 平面DEBC;
(2)解法1:∵AB//DE,结合CD//EB 得BE=CD=2,
由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,由PE得,
∴△PBC为等边三角形, ∴,
∴ .
解法2:∵AB//DE,结合CD//EB 得BE=CD=2,
由(1)知EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,由PE,
得, ∴△PBC为等边三角形,
取BC的中点O,连结OP,则,∵PO⊥BC,∴PO⊥平面EBCD,
∴ .
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【题目】在平行四边形中,,,.
(1)求点的坐标;
(2)过点的直线与平行四边形围成的区域(包括边界)有公共点,求直线的倾斜角的取值范围;
(3)对角线所在的直线与圆:没有交点,求实数的取值范围.
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【题目】在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”,又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:( )
①对任意三点A、B、C,都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等点的轨迹是正方形;
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点。
其中真命题的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】在平面直角坐标系 xOy中,O为坐标原点,已知点,P是动点,且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△AOB的面积;
(3)过点任作两条互相垂直的直线,分别交轨迹 C 于点A,B和M,N,设线段AB,MN的中点分别为E,F.,求证:直线EF恒过一定点.
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【题目】(1)已知直线l过点,它的一个方向向量为.
①求直线l的方程;
②一组直线,,,,,都与直线l平行,它们到直线l的距离依次为d,,,,,(),且直线恰好经过原点,试用n表示d的关系式,并求出直线的方程(用n、i表示);
(2)在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线,,,,的直线簇,使它同时满足以下三个条件:①点;②,其中是直线的斜率,和分别为直线在x轴和y轴上的截距;③.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
(1)求以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程;
(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,求的面积;
(3)过定点的直线交椭圆C于AB两点,求弦AB中点P的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆 的长轴长为4,焦距为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过动点的直线交轴与点,交于点 (在第一象限),且是线段的中点.过点作轴的垂线交于另一点,延长交于点.
(ⅰ)设直线的斜率分别为,证明为定值;
(ⅱ)求直线的斜率的最小值.
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【题目】如果你留心使会发现,汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状,把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状,这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束,又能发出较暗的,照射近距离的光线.我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,明亮的光束,是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的,灯泡位于抛物面的焦点上,灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束,再经过配光镜的散射、偏转作用,以达到照亮路面的效果,这样的灯光我们通常称为远光灯:而较暗的光线,不是由反射镜焦点的光源射出的,光线的行进与抛物线的对称轴不平行,光线只能向上和向下照射,所以照射距离并不远,如果把向上射出的光线遮住.车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了.请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理,并证明.
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