Question

（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）

• A．Rarccos

  2

  4

• B．

  πR

  4

• C．Rarccos

  3

  3

• D．

  πR

  3

Answer 1

分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．

解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，
因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=

3

2

R，E为BQ的中点，AE=

R2+( R 2 )2-2AO•OEcos45°

=

5-2 2 4

R，
AP=

( 3 2 R)2+( 5-2 2 4 R)2

=

8-2 2

2

R，
AP²=OP²+OA²-2OP•OAcos∠AOP，

8-2 2

4

R2=R2+R2-2R2cos∠AOP，
cos∠AOP=

2

4

，∠AOP=arccos

2

4

，
A、P两点间的球面距离为Rarccos

2

4

，
故选A．

点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．