Question

20．设x为实数，[x]为不超过实数x的最大整数，如[2.66]=2，[-2.66]=-3．记{x}=x-[x]，则{x}的取值范围为[0，1）．现定义无穷数列{a_n}如下：a₁={a}，当a_n≠0时，a_n+1=$\{\frac{1}{a_n}\}$；当a_n=0时，a_n+1=0．当$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$时，对任意的自然数n都有a_n=a，则实数a的值为$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 通过$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$计算数列{a_n}的前几项，结合对任意的自然数n都有a_n=a，从而得出关于a的方程，即可求出实数a的值．

解答 解：∵$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$，∴2≤a＜3，
∴a₁={a}=a，
a₂={$\frac{1}{a}$}=$\frac{1}{a}$-2，
∵当$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$时，对任意的自然数n都有a_n=a，
∴a=$\frac{1}{a}$-2，即a²+2a-1=0，
∴a=$\sqrt{2}-1$或a=-$\sqrt{2}-1$（不合2≤a＜3，舍去），
故答案为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查的是取整函数、数列的函数特性．解答此题的关键是计算数列的前几项，进而得到关于未知数的方程，利用方程思想求解．注意解题方法的积累，属于中档题．