精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知ABCD是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,且FB=2DE=2.
(1)求证:平面AEC⊥平面AFC;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
分析:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DE分别为X,Y,Z轴正言论自由建立空间直角坐标系,分别求出各点坐标,进而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐标,代入向量夹角公式,根据两个法向量的数量积为0,即可得到平面AEC⊥平面AFC;
(2)根据面面平行的性质定理,BC即为平面ABFE上的高,求出△AEF的面积,并将其代入棱锥体积公式,即可得到答案.
解答:解:(1)证明:建立如图坐标系
∴D(0,0,0),E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),F(2,2,2)
AE
=(-2,0,1),
EC
=(0,2,-1)
AF
=(0,2,2),
FC
=(-2,0,-2)

m
为面AEC法向量 
m
=(x1y1z1)
-2x1+z1=0
2y1-z1=0
m
=(1,1,2)

n
为面AFC法向量 
n
=(x2y2z2)
2y2+2z2=0
-2x2-2z2=0
n
=(1,1,-1)
cos<
m
n
>=
1+1-2
4
3
=0
m
n

∴面AEC⊥面AFC.
(2)S△AEF=
1
2
•AE•EF=
1
2

∵平面ABEF⊥平面ABCD
即BC⊥AB
而平面ABEF∩平面ABCD=AB
∴BC⊥平面ABFE
∴VC-AEF=
1
3
•S△AEF•BC=
1
6
点评:本题考查的知识点是棱锥的体积公式,用向量语言表述面面垂直关系,其中(1)中用向量法证明面面垂直的关键是建立适当的空间直角坐标法,(2)中求棱锥的体积,确定底面和高是关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知ABCD是边长为a的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG⊥面ABCD,CG=a.
(1)求证:BD∥EFG;
(2)求点B到面GEF的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知ABCD是底角为30°的等腰梯形,AD=2
3
,BC=4
3
,取两腰中点M、N分别交对角线BD、AC于G、H,则
AG
AC
=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知ABCD是边长为1的正方形,AF⊥平面ABCD,CE∥AF,CE=λAF(λ>1).
(Ⅰ)证明:BD⊥EF;
(Ⅱ)若AF=1,且直线BE与平面ACE所成角的正弦值为
3
2
10
,求λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PB=2,PB与平面ABCD所成的角为30°,PB与平面PCD所成的角为45°,求:
(1)PB与CD所成角的大小;
(2)二面角C-PB-D的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,且AB=FB=2DE.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线EC与平面BCF所成的角;
(Ⅲ)问在EF上是否存在一点M,使三棱锥M-ACF是正三棱锥?若存在,试确定M点的位置;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案