Question

类比平面上的命题（m），给出在空间中的类似命题（n）的猜想．
（m）如果△ABC的三条边BC，CA，AB上的高分别为h_a，h_b和h_c，△ABC内任意一点P到三条边BC，CA，AB的距离分别为P_a，P_b，P_c，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

=1．
（n）

设h_a，h_b，h_c，h_d为四面体S-ABC的四个面上的高，P为四面体内的任一点，
P到相应四个面的距离分别为P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1

．

Answer 1

分析：根据三角形和四面体的相似性，以及三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，再结合已知的命题进行类比来猜想．

解答：解：设h_a，h_b，h_c，h_d为四面体S-ABC的四个面上的高，P为四面体内的任一点，
P到相应四个面的距离分别为P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
故答案为：设h_a，h_b，h_c，h_d为四面体S-ABC的四个面上的高，P为四面体内的任一点，
P到相应四个面的距离分别为P_a，P_b，P_c，p_d，那么

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．

点评：本题一道有关三角形与三棱锥的归纳类比题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），主要考查考生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出新的一般性的结论．