Question

9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点． 
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）在棱DD₁上是否存在一点P，使得BD₁∥平面PMN，若存在，求D₁P：PD的比值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由正方形性质得AC⊥BD，又由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点，易得MN∥AC，则MN⊥BD．BB₁⊥MN，由线面垂直的判定定理，可得MN⊥平面BB₁D₁D，进而由面面垂直的判定定理，可得平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）设MN与BD的交点是Q，连接PQ，PM，PN，由线面平行的性质定理，我们易由BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，得BD₁∥PQ，再由平行线分线段成比例定理，得到线段DP与PD₁的比．

解答 （1）证明：连接AC，则AC⊥BD，又M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁⊥平面ABCD，∵MN?平面ABCD，∴BB₁⊥MN，
∵BD∩BB₁=B，∴MN⊥平面BB₁D₁D，
∵MN?平面B₁MN，∴平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D．
（2）解：设MN与BD的交点是Q，连接PQ，
∵BD₁∥平面PMN，BD₁?平面BB₁D₁D，平面BB₁D₁D∩平面PMN=PQ，
∴BD₁∥PQ，PD₁：DP=1：3

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，其中熟练掌握空间线面关系的判定、性质、定义，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．