Question

设函数f（x）=3sin（2x+

π

3

），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x=

π

12

成轴对称；③它的图象关于点（

π

3

，0）成中心对称；④它在区间[-

5π

12

，

π

12

]上是增函数．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①根据周期公式T=

2π

ω

求解；②根据函数在对称轴处取得函数的最值，把x=

π

12

代入验证；
③求函数的对称中心，令2x+

π

3

=kπ，从而可得x；④令-

π

2

≤2x+

π

3

≤ 

π

2

，求解x；

解答：解：①根据周期公式T=

2π

ω

=π，故①正确
②∵函数在对称轴处取得函数的最值，f（

π

12

）=3sin(2×

π

12

+

π

3

)=3为最大值故②正确
③根据函数的对称性可得，2x+

π

3

=kπ?x=

kπ

2

-

π

6

，当k=1时x=

π

3

故③正确
④令-

π

2

≤2x+

π

3

≤ 

π

2

可得-

5π

12

≤x≤

π

12

即函数在[

5π

12

，

π

12

]上是增函数故④正确
故答案为：①②③④

点评：本题综合考查了三角函数y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0）的性质：函数的周期公式T=

2π

ω

的运用；函数对称轴的求解：令ωx+φ=kπ+

π

2

从而求解x；对称中心的求解：令ωx+φ=kπ；函数的单调区间的求解：令-

π

2

+2kπ≤ωx+φ≤

π

2

+2kπ，k∈Z，求解函数的单调增区间，令

π

2

+2kπ≤ωx+φ≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，求解函数的单调减区间．