Question

15．求经过点A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的双曲线的标准方程，并写出其焦点、渐近线和离心率．

Answer 1

分析 设经过点A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的双曲线的方程为mx²+ny²=1，mn＜0，利用待定系数法能求出双曲线的标准方程、焦点坐标、渐近线方程和离心率．

解答 解：设经过点A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的双曲线的方程为mx²+ny²=1，mn＜0，
把A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4m+\frac{4}{3}n=1}\\{9m+8n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{3}$，n=-$\frac{1}{4}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴$a=\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
∴焦点坐标为F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，1），
渐近线方程为y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程、焦点、渐近线和离心率的求法，是基础题，解题时要注意双曲线的性质和待定系数法的合理运用．