Question

已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   -1
4. D.
   -1004.5

Answer 1

A
分析：法一：由题意f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是R上的奇函数，由此可以得出函数的周期为4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函数的性质得出f（-1）=0，从而可得f（1）=0，求出一个周期上的四个函数的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
法二：
解答：法一：由题意f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是R上的奇函数，
f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），①
∴f（-x-1）=f（x+1），②
由①②得f（x+1）=-f（x-1）③恒成立，
∴f（x-1）=-f（x-3）④
由③④得f（x+1）=f（x-3）恒成立，
∴函数的周期是4，下研究函数一个周期上的函数的值
由于f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，由偶函数知f（1）=0，由周期性知f（3）=0
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=f（2009）=f（1）=0 　　
故选A
点评：本题考查函数奇偶性的运用，求解本题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和．