Question

已知抛物线C的方程为：y²=4x，直线l过（-2，1）且斜率为k≥0，当k为何值时，直线l与抛物线C（1）只有一个公共点，（2）有两个公共点．

Answer 1

（1）当k=0时，直线l的方程为y=1，与抛物线C的方程联立

y=1 y2=4x

，解得(

1

4

，1)，此时直线l与抛物线C只有一个公共点．
k＞0时，直线l的方程为y-1=k（x+2），联立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化为k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
当直线l与抛物线相切时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²=0，化为2k²+k-1=0，解得k=-1或

1

2

．
即当k=-1或

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
综上可知：当k=0，-1或

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．
（2）k＞0时，直线l的方程为y-1=k（x+2），联立

y-1=k(x+2) y2=4x

，化为k²x²+（4k²+2k-4）x+（2k+1）²=0，
当直线l与抛物线相交时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（2k+1）²＞0，化为2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

1

2

．
故当-1＜k＜

1

2

且k≠0时，直线l与抛物线相交于两个交点．