Question

【题目】（题文）（题文）已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点, N为弦AB的中点,O为坐标原点.

(1)求直线ON的斜率；

(2)求证:对于椭圆上的任意一点M,都存在,使得成立.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】分析：（1）设椭圆的焦距为，由，可得，从而椭圆的方程可化为，右焦点，直线所在的直线方程为，与椭圆方程联立化为，在利用中点公式与斜率公式即可求出；

（2）利用平面向量的基本定理，根与系数的关系，点与椭圆的位置关系，即可得到证明．

详解： (1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.

从而椭圆的方程可化为:

知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.

③设,弦的中点,由③及韦达定理有:

所以,即为所求.

(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.

又因为点在椭圆上,所以有整理可得:

. ④

由③有:.所以

⑤又点在椭圆上,故有 .

⑥将⑤,⑥代入④可得:.

所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立.