Question

（本小题满分13分）
已知，在水平平面上有一长方体绕旋转得到如图所示的几何体．

(Ⅰ)证明：平面平面；
（Ⅱ）当时，直线与平面所成的角的正弦值为，求的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面与平面所成的角为，长方体的最高点离平面的距离为，请直接写出的一个表达式，并注明定义域．

Answer 1

证明：(Ⅰ)延长交于， ，
，
，
，

即    ……………………………………2分
又  
     ……………………………………3分
 ，  ……………………………………4分
平面平面；……………………………………5分
（Ⅱ）如图，以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设         ……………………………………6分

  ……………………………………7分
设平面的一个法向量为，
则由，取   ……………………………………8分
设直线
解得               ……………………………………10分
（Ⅲ）              ……………………………………13分

解析