Question

连结正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点),所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.

Answer 1

思路解析:连结相应点后,得出图形如图1-1-12左图,再作出判断.

                                                图1-1-12

答案:先画出正方体,然后取各个面的中心,并依次连成线观察即可.

如图1-1-12,正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆分别是各表面的中心.由点O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆组成了一个八面体,而且该八面体共有6个顶点,12条棱.该多面体的图形如图1-1-12中的右图所示.

  绿色通道:本题中的八面体,事实上是正八面体——八个面都是有相同边数的正三角形,并且以每个顶点为其一端,都有相同数目的棱.由图还可见,该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的,而且中间一个四边形O₂O₃O₄O₅还是正方形,当然其他的如O₁O₂O₆O₄等也是正方形.为了增强立体效果,正方体应画得“正”些,而八面体的放置应稍许“倾斜”些,并且“后面的”线,即被前面平面所遮住的线,如图中的O₁O₅、O₆O₅、O₅O₂、O₅O₄应画成虚线.

    由正方体的部分顶点可构成多种形状的简单几何体.如多面体ACB₁D₁便为四面体,即三棱锥,它是面数最少的空间几何体,而且该四面体也是正四面体;又如多面体A₁ABD也是四面体,它是一个直角四面体,它也可看作是由正方体截下一个角所得的几何体,且截面是一个锐角三角形.