Question

13．已知函数f（x）=-x+b的图象过点（2，1），若不等式f（x）≥x²+x-5的解集为A，且A⊆（-∞，a]．
（1）求a的取值范围；
（2）解不等式$\frac{{{x^2}-（a+3）x+2a+3}}{f（x）}$＜1．

Answer 1

分析 （1）先求出b的值，再解不等式即可得到a的范围．
（2）分类讨论即可求出不等式的解集．

解答 解：（1）依题意，可得b=3f（x）≥x²+x-5即-x+3≥x²+x-5，即x²+2x-8≤0，
∴A=[-4，2]⊆（-∞，a]，
∴a≥2
∴a的范围为[2，+∞）．                             
（2）$\frac{{{x^2}-（a+3）x+2a+3}}{f（x）}＜1$即 $\frac{{{x^2}-（a+2）x+2a}}{x-3}＞0$
由（1）知 a≥2，
当a=2时，不等式的解集为（3，+∞）；
当2＜a＜3时，不等式的解集为（2，a）∪（3，+∞）；
当a=3时，不等式的解集为（2，3）∪（3，+∞）；
当a＞3，不等式的解集为（2，3）∪（a，+∞）．

点评 本题主要考查了不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．