Question

已知⊙O的直径为10，AB是⊙O的一条直径，长为20的线段MN的中点P在⊙O上运动（异于A、B两点）．
（Ⅰ）求证：

AM

•

BN

与点P在⊙O上的位置无关；
（Ⅱ）当

MN

与

AB

的夹角θ取何值时，

AM

•

BN

有最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB为⊙O的直径得

AP

•

BP

=0，利用向量的加法和减法运算来表示

AM

•

BN

，由向量数量积的运算和条件进行化简；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）化简的结果和向量夹角的范围，求出夹角的余弦值的最大值代入，求出两个向量数量积的最大值．

解答：证明：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，P为圆上一点，∴AP⊥BP，
∴

AP

⊥

BP

，则

AP

•

BP

=0，
∵P为MN的中点，且|

MN

|=20，∴

MP

=

PN

，

|MP|

= |

PN

|=10，
∴

AM

•

BN

=（

AP

+

PM

）（

BP

+

PN

）=（

AP

-

PN

）（

BP

+

PN

）
=

AP

•

BP

+

AP

•

PN

-

PN

•

BP

-

PN

•

PN

=

PN

（

AP

-

BP

）-100=

1

2

MN

•

AB

-100，
∴

AM

•

BN

仅与

MN

•

AB

的夹角有关，而与点P在⊙O上的位置无关；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

AM

•

BN

=

1

2

MN

•

AB

-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴当θ=0时，

AM

•

BN

取最大值为0．

点评：本题考查了利用向量的线性运算和数量积运算，进行向量式子的求值和求解，主要根据图形的特点和条件进行转化，进而利用条件和夹角的范围求出式子的值．