Question

等差数列{a_n}满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，当S_n取得最大值时，求n的值；
（2）若a₁=-46，记bn=

Sn-an

n

，求b_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），故d=-

2

23

a₁=-

2

23

．由此能求出当n=12时，S_n取得最大值．
（2）由（1）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，故a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．再由b_n=

Sn-an

n

，能求出b_n的最小值．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=-

2

23

a₁=-

2

23

．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×（-

2

23

a₁）=-

1

23

n²+

24

23

n=-

1

23

（n-12）²+

144

23

．
∴当n=12时，S_n取得最大值．…（6分）
（2）由（1）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．
∴b_n=

Sn-an

n

=

2n2-52n+50

n

=2n+

50

n

-52≥2

2n• 50 n

-52=-32，
当且仅当2n=

50

n

，即n=5时，等号成立．
故b_n的最小值为-32．…（12分）

点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值不等式的合理运用．