Question

（2012•许昌一模）已知a＞0，则f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R的充要条件是（　　）

A．?x₀∈R，ax₀²≥bx₀+c

B．?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c

C．?x∈R，ax²≥bx+c

D．?x∈R，ax²≤bx+c

Answer 1

分析：已知a＞0，则f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域为[0，+∞），本题中函数f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R故内层函数的定义域不是全体实数，可由△≥0保障 f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R定义域不是全体实数，从而求出a的范围；

解答：解：a＞0，则f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R，令g（x）=ax²-bx-c，
∴g（x）=ax²-bx-c的值域为[0，+∞），
∴△=（-b）²-4a（-c）=b²+4ac≥0，
说明方程ax²-bx-c=0，有实数根，
与x轴有交点，也即?x₀∈R，ax₀²-bx₀-c≤0，
若?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，说明存在x₀使得g（x）=ax²-bx-c＜0，又a＞0，开口向上，
g（x）与x轴有交点，可得△≥0，
所以f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R，
故f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R的充要条件是：?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，
故选B；

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对g（x）=ax²-bx-c的值域为[0，+∞）的理解与应用，常与函数f（x）=lg（ax²-bx-c）的定义域为R相混淆，也是易错点，属于中档题．