Question

已知在△ABC中，C=2B，A≠B，求证：C²=b（a+b ）．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把边转化成角正弦，代入C²-b（a+b ）利用和差化积和积化和差公式对其进行化简整理，利用C=2B判断出sin（C-B）-sinB=0证明C²=b（a+b ）．

解答：解：由正弦定理可知c=sinC2R，b=2RsinB，c=2RsinC
∴C²-b（a+b ）=4R²（sin²C-sinBsinA-sin²B）
=4R²[（sinC+sinB）（sinC-sinB）-sinBsinA]
=4R²[sin（B+C）sin（C-B）-sinBsinA]
=4R²sinA[sin（C-B）-sinB]
∵C=2B
∴sin（C-B）=sinB
∴4R²sinA[sin（C-B）-sinB]=0
∴C²-b（a+b ）=0，C²=b（a+b ）．
原式得证．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了用正弦定理来对三角形问题中边角互化方法的应用．