【题目】如图所示,矩形中,,平面,,为上的点,且平面.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由面,可得,所以,由面,可得.
由线面垂直的判定定理可得平面;(2)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得平面与平面所成角的余弦值.
试题解析:(1)因为面,所以,
又,所以.
因为面,所以.
又,所以面,即平面.
(2)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,则相关点的坐标为,,,,
设平面的法向量,平面的法向量为,易知,
令,则,故,令,得,,
于是, .
此即平面与平面所成角的余弦值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,试判断直线与曲线的位置关系,若相交,请求出其弦长.
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【题目】已知椭圆: 的左焦点为,上顶点为,长轴长为,为直线:上的动点,,.当时,与重合.
(1)若椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于,两点,若,求的值.
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【题目】如图,直三棱柱中,且,是棱上的动点,是的中点.
(1)当是中点时,求证:平面;
(2)在棱上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正三棱柱的所有棱长均,为棱(不包括端点)上一动点,是的中点.
(Ⅰ)若,求的长;
(Ⅱ)当在棱(不包括端点)上运动时,求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是(是参数),圆的极坐标方程为.
(1)求圆心的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆引切线,并切线长的最小值.
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【题目】祖暅是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高,这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上,圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下),考察圆柱里被圆锥截剩的立体,这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等,因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图,称为“椭球体”),请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于________.
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