Question

19．若a₁=1，对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且na_n+1²=（2n-1）a_n+1a_n+2a_n²．设M（x）表示整数x的个位数字，则M（a₂₀₁₁）=4．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值猜想并用数学归纳法证明a_n=2^n-1，进而通过计算出数列{M（a_n）}前几项的值可知从第2项起数列{M（a_n）}是以4为周期的周期数列，进而可得结论．

解答 解：依题意，${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₂+2${{a}_{1}}^{2}$，
即${{a}_{2}}^{2}$=a₂+2，解得：a₂=2或a₂=-1（舍），
2${{a}_{3}}^{2}$=3a₂a₃+2${{a}_{2}}^{2}$，即2${{a}_{3}}^{2}$=6a₃+8，
解得：a₃=4或a₃=-1（舍），
3${{a}_{4}}^{2}$=5a₃a₄+2${{a}_{3}}^{2}$，即3${{a}_{4}}^{2}$=20a₄+32，
解得：a₄=8或a₄=-$\frac{4}{3}$（舍），
4${{a}_{5}}^{2}$=7a₄a₅+2${{a}_{4}}^{2}$，即4${{a}_{5}}^{2}$=56a₅+128，
解得：a₅=16或a₅=-2（舍），
猜想：a_n=2^n-1．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=2^k-1，
∵ka_k+1²=（2k-1）a_k+1a_k+2a_k²，
∴ka_k+1²-（k•2^k-2^k-1）a_k+1-2^2k-1=0，
解得：a_k+1=2^k，或a_k+1=-$\frac{{2}^{k-1}}{k}$（舍），
即当n=k+1时命题成立；
由①、②可知a_n=2^n-1．
∴M（a₁）=M（1）=1，
M（a₂）=M（2）=2，
M（a₃）=M（2²）=4，
M（a₄）=M（2³）=8，
M（a₅）=M（2⁴）=6，
M（a₆）=M（2⁵）=2，
∴从第2项起数列{M（a_n）}是以4为周期的周期数列，
∵2011=4×502+3，
∴M（a₂₀₁₁）=M（a₃）=4，
故答案为：4．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．