Question

已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；.若直线₁、₂与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

（Ⅰ）求、、的值；

（Ⅱ）求阴影面积关于的函数的解析式；

（Ⅲ）若问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且的最大值为16

则，

∴函数的解析式为

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直线与的图象的交点坐标为（

由定积分的几何意义知：

 

（Ⅲ）令

因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，

则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点

∴=1或=3时，

当∈（0，1）时，是增函数，当∈（1，3）时，

是减函数，当∈（3，+∞）时，是增函数。

 

又因为当→0时，；当

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即， ∴或

∴当或时，函数与的图象有且只有两个不同交点。