Question

18．△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，若bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a=4，S=5$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，利用三角函数恒等变换的应用可得$cosB=\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，可求B的值．
（2）利用三角形面积公式可求c的值，由余弦定理即可求b的值．

解答 解：（1）由正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC中，${S_△}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•4•c•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}$，
∴c=5，
∵由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=16+25-2×4×5×$\frac{1}{2}$=21，
∴$b=\sqrt{21}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．