本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式之间的互化问题,并能结合等差数列的定义得到通项公式,以及跟木同通项公式的特点,求解数列的和,采用了函数的单调性的思想,求解最值,从而得到常数k的值。
(1)根据已知的数列的前n项和与通项公式的关系,可以对于n=1,和n》2分为两种情况来分析得到结论。
(2)根据第一问中的通项公式,表示b
n= log
2= n+1,和T
n,然后利用整体的单调性来求解参数k的值。
解: (1)当n=1时,a
1=S
1=2a
1-2
2⇒a
1=4; ·········· 1分
当n≥2时,a
n=S
n-S
n-1=(2a
n-2
n+1)-(2a
n-1-2
n)⇒a
n- a
n-1=2
n,·········· 2分
⇒
-
=1,且
=2, ········ 3分
所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
则
=2+(
n-1)×1=" n" +1,所以a
n=(
n+1)2
n,nÎN*. ········ 6分
(2)由(1)得S
n=2a
n-2
n+1=(
n+1)2
n+1-2
n+1=
n2
n+1, ·········· 8分
则
=2
n+1,所以b
n= log
2= n+1, ········ 10分
所以T
n=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
,
T
n+1=
+
+
+…+
+
+
=
+
+
+…+
+
+
,
T
n+1-T
n=
+
-
=
,
又n是正整数,所以T
n+1-T
n=
>0,即T
n+1>T
n,
所以数列{T
n}是递增的数列,又T
1 =
=
, ········ 14分
所以T
n≥T
1=
,要使T
n>
恒成立,只需
>
,即k<6,
又k是正整数,故存在最大正整数k=5,使得T
n>
恒成立. 16分