Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C．
的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（I）求证：A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

法一：（I）证明：连接AC，由底面ABCD为正方形，得AC⊥DB．
∵AC是A₁C在平面ABCD内的射影，∴A₁C⊥BD
又∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，且A₁C在平面BB₁C₁C内的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，又BE∩BD=B∴A₁C⊥平面EBD

（Ⅱ）解：连接DF，A₁D∵EF⊥B₁C，EF⊥A₁C
∴EF⊥平面A₁B₁C∴∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角
由条件AB=BC=1，BB₁=2
可知

∴∴

解法二：（I）证明：如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则∵
∴，
即A₁C⊥BE，A₁C⊥DE∵BE∩DE=E∴A₁C⊥平面EBD；
（Ⅱ）解：设平面A₁B₁C的一个法向量为=（x，y，z）
则
令z=1，得m=（0，2，1），又
设与所成角为θ，则．从而把直线
∴直线ED与平面A₁B₁C所成角的正弦值为．
分析：（法一）
（I）由正方形的性质可得AC⊥DB，而A₁C在平面ABCD内的斜线，由三垂线的逆定理可得A₁C⊥BD①，又A₁C在平面BB₁C₁C内的射影
B₁C⊥BE，同理可得BEA₁C⊥BE②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）由（I）可得EF⊥平面A₁B₁C，考虑连接DF，根据三垂线定理可得∠EDF即为直线ED与平面A₁B₁C所成的角，在直角三角形EDF中，求解∠EDF即可．
（法二）如图以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
（I）要证A₁C⊥平面EBD??，利用向量的数量积的坐标表示可证
（II）分别求解平面A₁B₁C的一个法向量为，DE与平面A₁B₁C所成角转化为所成的角，代入公式可求
点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系：垂直关系的判定定理的运用，直线与平面所成角的求解，在解决此类问题时，采用空间向量的方法，可以很容易寻求解题思路，但要注意直线与平面所成的角的范围．