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如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C.
的垂线交CC1于E,交B1C于F.
(I)求证:A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.

法一:(I)证明:连接AC,由底面ABCD为正方形,得AC⊥DB.
∵AC是A1C在平面ABCD内的射影,∴A1C⊥BD
又∵A1B1⊥平面BB1C1C,且A1C在平面BB1C1C内的射影B1C⊥BE,
∴A1C⊥BE,又BE∩BD=B∴A1C⊥平面EBD

(Ⅱ)解:连接DF,A1D∵EF⊥B1C,EF⊥A1C
∴EF⊥平面A1B1C∴∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角
由条件AB=BC=1,BB1=2
可知



解法二:(I)证明:如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则∵

即A1C⊥BE,A1C⊥DE∵BE∩DE=E∴A1C⊥平面EBD;
(Ⅱ)解:设平面A1B1C的一个法向量为=(x,y,z)

令z=1,得m=(0,2,1),又
所成角为θ,则.从而把直线
∴直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为
分析:(法一)
(I)由正方形的性质可得AC⊥DB,而A1C在平面ABCD内的斜线,由三垂线的逆定理可得A1C⊥BD①,又A1C在平面BB1C1C内的射影
B1C⊥BE,同理可得BEA1C⊥BE②由①②根据直线与平面垂直的判定定理可证
(II)由(I)可得EF⊥平面A1B1C,考虑连接DF,根据三垂线定理可得∠EDF即为直线ED与平面A1B1C所成的角,在直角三角形EDF中,求解∠EDF即可.
(法二)如图以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
(I)要证A1C⊥平面EBD??,利用向量的数量积的坐标表示可证
(II)分别求解平面A1B1C的一个法向量为,DE与平面A1B1C所成角转化为所成的角,代入公式可求
点评:本题主要考查了空间直线与平面的位置关系:垂直关系的判定定理的运用,直线与平面所成角的求解,在解决此类问题时,采用空间向量的方法,可以很容易寻求解题思路,但要注意直线与平面所成的角的范围.
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3
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求:
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②AA1和B1C1所成的角是多少度?

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①求AE的长;
②求二面角A1-DE-C的正切值;
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3
,AD=2
3
,AA′=2,
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(1)求证:AC1⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.

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