Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面垂直，P，Q分别是棱BB₁，CC₁上的点，AB⊥A₁Q，．
（1）求证：AC⊥A₁P；
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ与面BCC₁B₁所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证：AC⊥A₁P，只需证AC⊥平面ABB₁A₁，要证AC⊥平面ABB₁A₁，由侧棱与底面垂直与AB⊥A₁Q，可得AB⊥平面ACC₁A₁，可得AC⊥AB，即可得证．
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ与面BCC₁B₁所成角（锐角）的余弦值．只需求出两个平面的法向量，即可求得．
解答：解：（1）由已知AA₁⊥AB，又AB⊥A₁Q，∵AB⊥面AA₁C₁C，∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA₁，∴AC⊥面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁P
（2）以AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
设BP=z₁，CQ=z₂，则，A（0，0，0）
又M是△A₁PQ的重心，可得M
∴，
又
∵，
∴得或（舍）
∴面A₁PQ的法向量为，
又面BB₁C₁C的一个法向量是
∴面A₁PQ与面BCC₁B₁夹角θ的余弦值．
点评：此题考查学生对线面垂直的判定与性质的理解与掌握，和用向量知识解决立体几何问题的能力和空间想象能力．