Question

已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，a₁=1，各项均为正数的等比数列{b_n}的第1项、第3项、第5项分别是a₁、a₃、a₂₁．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，根据题意用等比中项建立关于d的等式，解出d=4，得到a_n=4n-3．由此再算出{b_n}的公比，利用等比数列通项公式即可得到b_n=3^n-1；
（2）利用错位相减法将S_n与3S_n的两个等式作差，结合等比数列求和公式化简整理，可得S_n=[（4n-5）×3ⁿ+5]．
解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q
由题意，得，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+20d），解之得d=4（舍去0）
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
而{b_n}的首项b₁=a₁=1，公比满足q²===9，得q=3
∴b_n=b₁×3^n-1=3^n-1
综上所述，数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为a_n=4n-3、b_n=3^n-1；
（2）由（1）得a_nb_n=（4n-3）×3^n-1
∴S_n=1×1+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1…①
两边都乘以9，得
3S_n=1×3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ…②
①-②，得-2S_n=1+4（3¹+3²+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=4×+1-（4n-3）×3ⁿ=（5-4n）×3ⁿ-5
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=[（4n-5）×3ⁿ+5]
点评：本题给出等差数列与等比数列，在等比数列的第1项、第3项、第5项分别是等差数列的第1项、第3项、第21项时，求它们的通项公式，并求数列{a_nb_n}的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式和错位相减法求数列的前n项和等知识，属于中档题．