Question

【题目】已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 =12，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由 =1，解得：k1= ，k2= ．

故当 ＜k＜ ，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．

（2）解：设M（x1，y1）；N（x2，y2），

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，

可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1

= k2+k +1= ，

由 =x1x2+y1y2= =12，解得 k=1，

故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．

圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．

所以|MN|=2．

【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．