Question

若数列{a_n}满足对任意的n有：S_n=

n(a1+an)

2

，试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论．

Answer 1

分析：先根据S_n=

n(a1+an)

2

可得到a_n+1=S_n+1-S_n、a_n=S_n-S_n-1（n≥2），然后二式相减并代入关系式S_n=

n(a1+an)

2

可得到2（a_n+1-a_n）=（n+1）a_n+1+（n-1）a_n-1-2na_n（n≥2）整理可得到2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2），最后根据等差数列的性质可得证．

解答：解：a_n+1=S_n+1-S_n①
a_n=S_n-S_n-1（n≥2）②
①-②得
a_n+1-a_n=S_n+1+S_n-1-2S_n
=

(n+1)(a1+an+1)

2

+

(n-1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n）
=

1

2

[（n+1）a_n+1+（n-1）a_n-1-2na_n]
可得2（a_n+1-a_n）=（n+1）a_n+1+（n-1）a_n-1-2na_n（n≥2）
整理可得2（n-1）a_n=（n-1）a_n+1+（n-1）a_n-1（n≥2）
即2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2）
根据等差数列的特性可知：此数列为等差数列

点评：本题主要考查等差数列的证明，考查等差数列的性质，属基础题．