【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面为正三角形,侧面底面,为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)根据题意可证明平面底面,由面面垂直的性质可证明平面;
(2)由题意可证明,则以为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角的正弦值.
(1)证明:∵底面是正方形,
∴,
∵侧面底面,侧面底面,
∴由面面垂直的性质定理,得平面.
(2)设,的中点为,的中点为,
则,.由面面垂直的性质定理知平面,
又平面,故.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵侧面为正三角形,
∴,
则,,,,
∵为的中点,
∴,
∴,,
设平面的法向量,
则,即,即,
所以可取,
平面的法向量可取,
于是,
由同角三角函数关系式可求得
所以,二面角的正弦值为.
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【题目】将所有的正奇数按以下规律分组,第一组:1;第二组:3,5,7;第三组:9,11,13,15,17;… 表示n是第i组的第j个数,例如,,则( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面底面,且,,分别为棱,的中点.
(1)求证:;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
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【题目】某市四所重点中学进行高二期中联考,共有5000名学生参加,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机地抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
① | ② | |
0.050 | ||
0.200 | ||
36 | 0.300 | |
0.275 | ||
12 | ③ | |
0.050 | ||
合计 | ④ |
(1)根据上面的频率分布表,推出①②③④处的数字分别为 , , , .
(2)补全上的频率分布直方图.
(3)根据题中的信息估计总体:
①成绩在120分及以上的学生人数;
②成绩在的频率.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 .
(1)判断直线与曲线的位置关系;
(2)若是曲线上的动点,求的取值范围.
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【题目】某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为,,(,且,,),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在四场竞赛中,已知甲最终分为分,乙最终得分为分,丙最终得分为分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“听”这场竞赛的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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【题目】将边长为2的等边△ABC沿x轴正方向滚动,某时刻A与坐标原点重合(如图),设顶点A(x,y)的轨迹方程是y=f(x),关于函数y=f(x)有下列说法:
①f(x)的值域为[0,2];
②f(x)<f(4)<f(2018);
③f(x)是周期函数且周期为6;
④滚动后,当顶点A第一次落在x轴上时,f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积为.
其中正确命题的序号是_____
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