Question

（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．

⑴求异面直线PD与AE所成角的大小；
⑵求证：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.

Answer 1

（Ⅰ）连结BD   ∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PDB⊥平面ABCD，
过点E作EO⊥BD于O，连结AO.
则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD
.∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角…………3分
∵E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=PD=1.
在Rt△EOA中，AO=， .
即异面直线PD与AE所成角的大小为 …………………………… 4分
（Ⅱ）连结FO，   ∵F是AD的中点，        ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD，
由三垂线定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC. ………………… 6分
连结FB.可求得FB =" PF" =则EF⊥PB.又∵PB∩BC = B，∴EF⊥平面PBC. …………………8分
（Ⅲ）取PC的中点G，连结EG，FG.则EG是FG在平面PBC内的射影
∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC = D，
∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，则EG⊥PC∴FG⊥PC
∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角………………………………………10分
在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，
 ∴二面角F—PC—B的大小为…12分
说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给
2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。

解析