Question

设a＞0，对于函数f（x）=

sinx+a

sinx

(0＜x＜π)，下列结论正确的是（　　）

A．有最大值而无最小值

B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值

D．既无最大值又无最小值

Answer 1

分析：换元：令t=sinx，t∈（0，1]，函数转化为y=1+

a

t

，t∈（0，1]，通过研究关于t的函数y=1+

a

t

，的单调性与值域，可以得出原函数为上的单调减函数，从而得出正确答案．

解答：解：令t=sinx，t∈（0，1]，则函数

sinx+a

sinx

(0＜x＜π)的值域为
函数y=1+

a

t

，t∈（0，1]，的值域，
又∵a＞0，
∴y=1+

a

t

，t∈（0，1]，是一个减函减．
当t=1时函数有最小值1+a，函数无最大值．
故选B．

点评：本题考查了函数的最值及其几何意义，属于中档题．解题时应注意换元法的运用，和用反比例函数单调性的技巧．