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    已知函数数学公式，a∈R．
    （1）当a=-2时，求f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值与最小值；
    （2）若线段AB：y=2x+3（0≤x≤2）与导函数y=f'（x）的图象只有一个交点，且交点在线段AB的内部，试求a的取值范围．

    解：（1）当a=-2时，．（1分）
    求导得f'（x）=x2+4x=x（x+4）．（2分）．
    令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
    列表如下：（6分）
    x-1（-1，0）0（0，1）1
    f'（x）-0+
    f（x）↘0↗
    所以，f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值是，最小值是0．（7分）
    （2）y=f'（x）=x2-2ax+a2+2a．（8分）
    联立方程组（9分）
    得x2-2（a+1）x+a2+2a-3=0．（10分）
    设g（x）=x2-2（a+1）x+a2+2a-3，则方程g（x）=0在区间（0，2）内只有一根，
    相当于g（0）•g（2）＜0，即（a2+2a-3）•（a2-2a-3）＜0，（12分）
    解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）
    分析：（1）欲求函数的最大值与最小值，通过列表格的方法研究原函数的单调性及在端点处和极值处的函数值的大小；
    （2）先将导函数与线段方程联立，得到一个二次函数g（x），此函数在区间（0，2）内只有一根，即g（0）•g（2）＜0，即可求出a的取值范围．
    点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力以及函数和方程的综合运用能力，对于两个函数的交点问题，一般是将两个函数联立，转化成方程根的个数问题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年北京市十一学校高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数（a∈R且a≠0）．
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
    试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江西省百所重点高中高三（上）段考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数（a∈R且a≠0）．
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
    试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数（a∈R且a≠0）．
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
    试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年甘肃省天水一中高一（下）第二次段考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数，a∈R．
    （1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
    （2）如果对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2013届广东省梅州市高二第二学期3月月考理科数学试卷 题型：解答题

     

    已知函数  （a∈R）．

     (1)若在[1，e]上是增函数，求a的取值范围； 

    （2）若a=1，1≤x≤e,证明：<.

     

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