Question

14．如图，直线PB与圆O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是圆O的切线，切点为C．
（Ⅰ）求证：PC²+AD²=PD²；．
（Ⅱ）若BC是圆O的直径，求证：AC•BC=2BD•PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由垂径定理和切割线定理得AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD），由此能证明PC²+AD²=PD²．
（Ⅱ）推导出∠BAC=∠PCB=90°，∠B=∠B，从而△BAC∽△BCP，由此能证明AC•BC=2BD•PC．

解答 证明：（Ⅰ）∵直线PB与圆O交于A，B两点，OD⊥AB于点D，PC是圆O的切线，切点为C．
∴AD=BD，PC²=PA•PB=（PD-AD）（PD+AD）=PD²-AD²，
∴PC²+AD²=PD²．
（Ⅱ）∵BC是圆O的直径，PC是圆O的切线，切点为C，
∴∠BAC=∠PCB=90°，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCP，
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2BD}{BC}$，
∴AC•BC=2BD•PC．

点评 本题考查两线段的平方和等于第三条线段的平方的证明，考查两组线段乘积相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．